Hoeveel leeuwen is er nodig om een ​​lam te doden? Het antwoord is niet zo eenvoudig als je zou denken. Tenminste niet volgens de speltheorie.

speltheorie is een tak van wiskunde die de besluitvorming bestudeert en voorspelt. Het gaat vaak om het creëren van hypothetische scenario's, of "games", waarbij een aantal individuen genaamd "spelers" of "agenten" kunnen kiezen uit een gedefinieerde reeks acties volgens een reeks regels. Elke actie krijgt een "pay-off" en het doel is meestal om de maximale uitbetaling voor elke speler te vinden om uit te werken hoe ze zich waarschijnlijk zullen gedragen.

Deze methode is gebruikt in een breed scala van onderwerpen, waaronder economie, biologie, politiek en psychologieen om het gedrag in veilingen, stemmen en marktconcurrentie te helpen verklaren. Maar speltheorie heeft, dankzij zijn aard, ook aanleiding gegeven tot een aantal leuke hersenkrakers.

Een van de minder bekende van deze puzzels bestaat uit het uitzoeken hoe spelers het opnemen tegen grondstoffen, in dit geval hongerige leeuwen en een smakelijk lam. Een groep leeuwen leeft op een eiland bedekt met gras, maar zonder andere dieren. De leeuwen zijn identiek, volkomen rationeel en zich ervan bewust dat alle anderen rationeel zijn. Ze zijn zich er ook van bewust dat alle andere leeuwen zich ervan bewust zijn dat alle anderen rationeel zijn, enzovoort. Dit wederzijdse bewustzijn is wat wordt aangeduid als "algemene kennis”. Het zorgt ervoor dat geen enkele leeuw een kans maakt of de anderen te slim af is.

Natuurlijk hebben de leeuwen erg veel honger, maar ze proberen niet tegen elkaar te vechten omdat ze dezelfde fysieke kracht hebben en dus onvermijdelijk allemaal dood zijn. Omdat ze allemaal volkomen rationeel zijn, geeft elke leeuw een hongerig leven de voorkeur aan een zekere dood. Zonder alternatief kunnen ze overleven door een in wezen onbeperkte voorraad gras te eten, maar ze zouden allemaal liever iets vlezigers consumeren.

Op een dag verschijnt een lam op miraculeuze wijze op het eiland. Wat een ongelukkig schepsel lijkt het. Toch heeft het eigenlijk een kans om deze hel te overleven, afhankelijk van het aantal leeuwen (vertegenwoordigd door de letter N). Als een leeuw het weerloze lam verorbert, zal het te vol raken om zichzelf te verdedigen tegen de andere leeuwen.

Ervan uitgaande dat de leeuwen niet kunnen delen, is de uitdaging om te bepalen of het lam zal overleven afhankelijk van de waarde van N. Of, om het anders te zeggen, wat is de beste manier van actie voor elke leeuw - het lam eten of eet het lam niet - afhankelijk van het aantal anderen in de groep.

De oplossing

Dit type speltheorieprobleem, waarbij je een oplossing moet vinden voor een algemene waarde van N (waarbij N een positief geheel getal is), is een goede manier om de logica van speltheoretici te testen en om aan te tonen hoe achterwaartse inductie werkt. Logische inductie omvat het gebruik van bewijs om een ​​conclusie te vormen die waarschijnlijk waar is. Achterwaartse inductie is een manier om een ​​goed gedefinieerd antwoord op een probleem te vinden door stapsgewijs terug te gaan naar de zeer eenvoudige casus, die kan worden opgelost met een eenvoudig logisch argument.

In het leeuwenspel zou de standaardcase N = 1 zijn. Als er maar één hongerige leeuw op het eiland was, zou hij niet aarzelen om het lam te eten, omdat er geen andere leeuwen zijn om ermee te concurreren.

Laten we nu kijken wat er gebeurt in het geval van N = 2. Beide leeuwen besluiten dat als een van hen het lam eet en te vol wordt om zichzelf te verdedigen, het door de andere leeuw wordt gegeten. Als een resultaat probeerden geen van beiden het lam te eten en alle drie de dieren leefden gelukkig samen bij het eten van gras op het eiland (als een leven leiden dat uitsluitend afhankelijk is van de rationaliteit van twee hongerige leeuwen, gelukkig genoemd kan worden).

Voor N = 3, als een van de leeuwen het lam eet (effectief een weerloos lam zelf wordt), zou het het spel reduceren tot hetzelfde scenario als voor N = 2, waarin geen van de overgebleven leeuwen zal proberen de nieuw weerloze leeuw. Dus de leeuw die het dichtst bij het echte lam zit, eet het en drie leeuwen blijven op het eiland zonder te proberen elkaar te vermoorden.

En voor N = 4, als een van de leeuwen het lam zou eten, zou dit het spel reduceren tot het N = 3-scenario, wat zou betekenen dat de leeuw die het lam at, uiteindelijk zelf zou worden gegeten. Omdat geen van de leeuwen dat wil, laten ze het lam met rust.

In wezen wordt de uitkomst van het spel bepaald door de actie van de leeuw die zich het dichtst bij het lam bevindt. Voor elk integer N realiseert de leeuw zich dat het eten van het lam het spel zou reduceren tot het geval van N-1. Als de zaak N-1 resulteert in het voortbestaan ​​van het lam, eet de leeuw die het dichtst bij is. Anders laten alle leeuwen het lam leven. Dus, na elke keer weer de logica terug naar het basisscenario te volgen, kunnen we concluderen dat het lam altijd zal worden gegeten wanneer N een oneven getal is en zal overleven wanneer N een even getal is.

Over de auteur

Amirlan Seksenbayev, PhD Candidate in Mathematical Sciences, Probability and Applications, Queen Mary University of London

Dit artikel is oorspronkelijk gepubliceerd op The Conversation. Lees de originele artikel.

Verwante Boeken

at InnerSelf Market en Amazon